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Alexis Flesch

DS 2 sujet A

Exercice 1  (afficher/masquer la correction) :

Écrire sous forme polaire le nombre complexe $z = 3-3i$.

On a : \[ z = 3\sqrt{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 3\sqrt{2}\, \mathrm{e}^{-i \pi/4} .\]

Exercice 2  (afficher/masquer la correction) :

Déterminer les racines carrées de $8+6i$.

Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. Alors : \[ z^2 = 8+6i \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 = \sqrt{8^2+6^2}\\ a^2 - b^2 = 8\\ 2ab = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a^2 = 18\\ 2b^2 = 2\\ 2ab = 6 \end{cases} \] On en déduit que les racines carrées de $8+6i$ sont $3+i$ et $-3-i$.

Exercice 3  (afficher/masquer la correction) :

Linéariser $\cos(x)^2\sin(x)$.

On utilise les formules d'Euler et on développe : \[ \begin{align*} \cos(x)^2\sin(x) &= \left( \frac{\mathrm{e}^{ix}+\mathrm{e}^{-ix}}{2}\right)^2 \cdot \left( \frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}\right)\\ &= \frac{1}{8i} \left( \mathrm{e}^{i2x}+2+\mathrm{e}^{-i2x} \right) \cdot \left( \mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix} \right) \\ &= \frac{1}{8i} \left( \mathrm{e}^{i3x}-\mathrm{e}^{ix}+2\mathrm{e}^{ix} -2\mathrm{e}^{-ix} + \mathrm{e}^{-ix} - \mathrm{e}^{-i3x} \right)\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{ \mathrm{e}^{i3x}-\mathrm{e}^{-i3x}}{2i} + \frac{1}{4} \cdot \frac{ \mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i} \\ &= \frac{\sin(3x)+\sin(x)}{4}. \end{align*} \]

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