DS 2 sujet A
Exercice 1 (afficher/masquer la correction) :
Écrire sous forme polaire le nombre complexe $z = 3-3i$.
On a :
\[ z = 3\sqrt{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 3\sqrt{2}\, \mathrm{e}^{-i \pi/4} .\]
Exercice 2 (afficher/masquer la correction) :
Déterminer les racines carrées de $8+6i$.
Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. Alors :
\[ z^2 = 8+6i \Leftrightarrow
\begin{cases}
a^2 + b^2 = \sqrt{8^2+6^2}\\
a^2 - b^2 = 8\\
2ab = 6
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
2a^2 = 18\\
2b^2 = 2\\
2ab = 6
\end{cases}
\]
On en déduit que les racines carrées de $8+6i$ sont $3+i$ et $-3-i$.
Exercice 3 (afficher/masquer la correction) :
Linéariser $\cos(x)^2\sin(x)$.
On utilise les formules d'Euler et on développe :
\[ \begin{align*}
\cos(x)^2\sin(x) &= \left( \frac{\mathrm{e}^{ix}+\mathrm{e}^{-ix}}{2}\right)^2 \cdot
\left( \frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}\right)\\
&= \frac{1}{8i} \left( \mathrm{e}^{i2x}+2+\mathrm{e}^{-i2x} \right) \cdot
\left( \mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix} \right) \\
&= \frac{1}{8i} \left( \mathrm{e}^{i3x}-\mathrm{e}^{ix}+2\mathrm{e}^{ix}
-2\mathrm{e}^{-ix} + \mathrm{e}^{-ix} - \mathrm{e}^{-i3x} \right)\\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{ \mathrm{e}^{i3x}-\mathrm{e}^{-i3x}}{2i}
+ \frac{1}{4} \cdot \frac{ \mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i} \\
&= \frac{\sin(3x)+\sin(x)}{4}.
\end{align*}
\]
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