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% Première marge
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\rotatebox{90}{\textcolor{grisgris}{ $x$%
\fontsize{67}{60}\selectfont$-\, \frac{x^3}{3!}$%
\fontsize{49}{60}\selectfont$+\, \frac{x^5}{5!}$
\fontsize{36}{60}\selectfont$-\, \frac{x^7}{7!}$
\fontsize{27}{60}\selectfont$+\, \frac{x^9}{9!}$
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\fontsize{6}{60}\selectfont$+\, \ldots$
}}}}

%Deuxième marge
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   \raisebox{1ex}{\rotatebox{90}{\reflectbox{{#1}}}}}
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\fontsize{67}{60}\selectfont$+\, x$%
\fontsize{49}{60}\selectfont$+\, \frac{x^2}{2!}$
\fontsize{36}{60}\selectfont$+\, \frac{x^3}{3!}$
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\fontsize{6}{60}\selectfont$+\, \ldots$}}} }

% Mise en page
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\lhead{\bfseries \Large Découverte des développements limités}
\rhead{~}
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\rfoot{Universit\'e de Franche-Comt\'e}
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% Théorèmes
\newtheoremstyle{note}% name
  {3pt}%Space above
  {1em}%Space below
  {}%Body font
  {}%Indent amount 1
  {\bfseries}% Theorem head font
  {.}%Punctuation after theorem head
  {.3em}%Space after theorem head 2
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\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newtheorem{definition}{Définition}

%Commandes perso
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% Polices
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\newboxedtheorem[size=.44\textwidth]{theoreme}{Théorème}{}


\begin{document}


\makesecondmargin \vspace{-1.3cm}

\section{Premiers pas}

Le but de ce nouveau chapitre est d'essayer d'approcher des fonctions à l'aide de
polynômes. Pour cette première séance on se préoccupera de l'approximation « autour de $0$ » de
quelques fonctions usuelles. On notera $\varepsilon(x)$ des fonctions telles que $\varepsilon(x)
\to 0$ lorsque $x\to 0$.


\begin{exercice}\label{ex:intro}
    Soit $f$ la fonction définie sur $]-1/2,1/2[$ par $f(x) = 1/(1-x)$.
    \begin{enumerate}
        \item Rappeler la formule pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique de
            raison $x$.
        \item En déduire que, pour tout $n\in \mathbb{N}^\star$ :
            \begin{displaymath}
                \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + x^{n}\cdot \frac{x}{1-x}.
            \end{displaymath}
        \item Que dire du comportement de la fonction $\frac{x}{1-x}$ en $0$ ?
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{definition}
    On dit que $f$ admet un \textit{développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$} si il
    existe un    polynôme $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ (appelé \textit{partie régulière} du
    développement limité)    tel que : 
\[f(x) = a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n + x^{n}\varepsilon(x).\]
\end{definition}

On peut démontrer que si $f$ admet un développement limité, le polynôme de la définition (la partie
régulière) est unique. Que dire alors du développement limité de la
fonction de l'exercice \ref{ex:intro} ?


\begin{exercice}
    Soient $f$ et $g$ deux fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de
    $0$.
    \begin{enumerate}
        \item Que dire de $f+g$ ?
        \item Que dire de $fg$ ?
        \item Que dire de $af$, où $a \in \mathbb{R}$ ?
        \item Peut-on déterminer un développement limité de $f$ à l'ordre $k<n$ 
            au voisinage de $0$ ?
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\section{Résultat fondamental}
\begin{theoreme}[Formule de Taylor-Young]
    Si $f$ est $n$ fois dérivable au voisinage de $0$, alors :
    \begin{displaymath}
        f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0) \frac{x^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}
                   + x^{n} \varepsilon(x).
    \end{displaymath}
\end{theoreme}



\begin{exercice}
    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les dérivées successives de $f$.
        \item Déterminer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.
        \item En déduire le développement limité de la fonction $\mathrm{sinus}$ en $0$
            à l'ordre $n$.
    \end{enumerate}
        Répéter les questions précédentes avec la fonction $g(x)=e^x$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
    Déterminer pour tout $n$ les $f^{(n)}(0)$ où $f$ est la fonction de l'exercice \ref{ex:intro}.
\end{exercice}


\section{Développements limités usuels à connaître}

\vspace{-2em}
 
\begin{align*}
    e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} +\ldots+ \frac{x^n}{n!} &+ x^{n}\varepsilon(x) \\
%              = \sum_{k=0}^n \frac{x^n}{n !} + x^{n+1}\varepsilon(x) \\
    \sin x &= x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} +\ldots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}
        & +x^{2p+1} \varepsilon(x) \\
%              = \sum_{k=0}^p (-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + x^{2p+2}\varepsilon(x) \\
    \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} +\ldots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}
        & +x^{2p} \varepsilon(x) \\
    \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + + x^3 + \ldots + x^n
        & + x^{n}\varepsilon(x) \\
    \ln (1-x) &= -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \ldots - \frac{x^n}{n}
        & + x^{n} \varepsilon(x) \\
    (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \alpha (\alpha-1) \frac{x^2}{2!} + \ldots \\ 
        & \qquad\qquad +\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)\frac{x^n}{n!}
        & + x^{n} \varepsilon(x) \\
\end{align*}



% \end{document}
\newpage

\makefirstmargin
\vspace{-1.3cm}

\section{Règle de calcul - applications}
\vspace{-.2cm}

Soit $u$ une fonction telle que $u(x)\to 0$ lorsque
$x\to 0$ et admettant un développement limité. Si $f$ admet un développement limité en $0$,
alors, $f\circ u$ admet un développement limité en $0$.

\begin{exercice}
    Déterminer le développement limité de $\sin (2x^2)$ à l'ordre $5$ au voisinage de $0$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
    En effectuant un développement limité, retrouver la valeur de la limite de
    %$\frac{\sin x}{x}$ lorsque $x\to 0$.
    $\sin(x)/x$ lorsque $x\to 0$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
    Déterminer une valeur approchée de $\sin (1)$. Comparer avec ce que donne la calculatrice.
    Faire de même avec $e = e^1$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
     Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^{1/x} \sqrt{x(x+2)}$ pour tout $x$ de 
    $\mathbb{R}_+^\star$. On souhaite étudier le comportement de $f$ 
    « au voisinage de $+\infty$ ».
    \begin{enumerate}
        \item Soit $h=1/x$. Écrire $f(x)$ en fonction de $h$.
        \item Effectuer le développement limité de $f(h)$ à l'ordre $2$ en $0$.
        \item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$
            et déterminer son expression.
    \end{enumerate}

\end{exercice}


\section{Illustration}

% Sur les graphiques qui suivent, on a tracé la fonction $\mathrm{sinus}$ ainsi que la partie
% régulière de son développement limité à différents ordres.
\vspace{-.2cm}
Approximation de la fonction $\mathrm{sinus}$ par la partie régulière de son développement limité.


% \end{document}

\vfill 

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,yscale=1.3,xscale=.97]
    \draw[->,color=black] (-5,0) -- (5,0);
    \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,2);
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt, smooth,samples=100,domain=2.2:2.7] plot(\x,{1.5});
    \draw (2.8,1.5) node[right] {$\displaystyle y = x$};
    \draw[smooth,samples=100,domain=2.2:2.7] plot(\x,{1.8});
    \draw (2.8,1.8) node[right] {$\displaystyle y = \sin(x)$};
    \draw (5,-2pt) node[below] {$x$};
    \draw (-2pt,2) node[left] {$y$};
    \foreach \x/\n in {-4.71/{-3\pi/2},-3.14/{-\pi}, -1.57/{-\pi/2}, 1.57/{\pi/2},3.14/{\pi}}
        \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\n$};
    \foreach \y in {-1.5,-1,-0.5,0.5,1,1.5}
        \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
    \clip(-5,-2) rectangle (5,2);
    \draw[smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{sin(((\x))*180/pi)});
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt,
            smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{(\x)});
\end{tikzpicture}
\vspace{.5cm}




% \vfill
\newpage 
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,yscale=1.3,xscale=.97]
    \draw[->,color=black] (-5,0) -- (5,0);
    \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,2);
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt, smooth,samples=100,domain=2.2:2.7] plot(\x,{1.3});
    \draw (2.8,1.3) node[right] {$\displaystyle y = x-\frac{x^3}{3!}$};
    \draw[smooth,samples=100,domain=2.2:2.7] plot(\x,{1.8});
    \draw (2.8,1.8) node[right] {$\displaystyle y = \sin(x)$};
    \draw (5,-2pt) node[below] {$x$};
    \draw (-2pt,2) node[left] {$y$};
    \foreach \x/\n in {-4.71/{-3\pi/2},-3.14/{-\pi}, -1.57/{-\pi/2}, 1.57/{\pi/2},3.14/{\pi}}
        \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\n$};
    \foreach \y in {-1.5,-1,-0.5,0.5,1,1.5}
        \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
    \clip(-5,-2) rectangle (5,2);
    \draw[smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{sin(((\x))*180/pi)});
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt,
            smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{(\x)-(\x)^3/6});
\end{tikzpicture}

\vfill

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,yscale=1.3,xscale=.97]
    \draw[->,color=black] (-5,0) -- (5,0);
    \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,2);
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt, smooth,samples=100,domain=.6:1.1] plot(\x,{-1.5});
    \draw (1.1,-1.5) node[right] {$\displaystyle y = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$};
    \draw[smooth,samples=100,domain=.6:1.1] plot(\x,{-1});
    \draw (1.1,-1) node[right] {$\displaystyle y = \sin(x)$};    \draw (5,-2pt) node[below] {$x$};
    \draw (-2pt,2) node[left] {$y$};
    \foreach \x/\n in {-4.71/{-3\pi/2},-3.14/{-\pi}, -1.57/{-\pi/2}, 1.57/{\pi/2},3.14/{\pi}}
        \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\n$};
    \foreach \y in {-1.5,-1,-0.5,0.5,1,1.5}
        \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
    \clip(-5,-2) rectangle (5,2);
    \draw[smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{sin(((\x))*180/pi)});
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt,
            smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{(\x)-(\x)^3/6+(\x)^5/120});
\end{tikzpicture}

\vfill

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,yscale=1.3,xscale=.97]
    \draw[->,color=black] (-5,0) -- (5,0);
    \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,2);
    \draw (5,-2pt) node[below] {$x$};
    \draw (-2pt,2) node[left] {$y$};
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt, smooth,samples=100,domain=.6:1.1] plot(\x,{1.3});
    \draw (1.1,1.3) node[right] {$\displaystyle y =
                x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$};
    \draw[smooth,samples=100,domain=.6:1.1] plot(\x,{1.8});
    \draw (1.1,1.8) node[right] {$\displaystyle y = \sin(x)$};
    \foreach \x/\n in {-4.71/{-3\pi/2},-3.14/{-\pi}, -1.57/{-\pi/2}, 1.57/{\pi/2},3.14/{\pi}}
        \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\n$};
    \foreach \y in {-1.5,-1,-0.5,0.5,1,1.5}
        \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
    \clip(-5,-2) rectangle (5,2);
    \draw[smooth,samples=100,domain=-4.999999999999999:5.000000000000002]
            plot(\x,{sin(((\x))*180/pi)});
    \draw[dash pattern=on 1pt off 1pt,
            smooth,samples=100,domain=-3.9:4]
            plot(\x,{(\x)-(\x)^3/6+(\x)^5/120-(\x)^7/5040});
\end{tikzpicture}

\vspace{.5cm}

\end{document}