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\lhead{\bfseries \Large Un peu plus sur les développements limités}
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\rfoot{Universit\'e de Franche-Comt\'e}
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% Théorèmes
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\begin{document}


\makesecondmargin

\vspace{-1.25cm}

\section{Division selon les puissances croissantes}

On a vu en cours d'algèbre comment effectuer des \textit{divisions de polynômes suivant les
puissances croissantes}. Puisque les développements limités sont des approximations de fonctions
par des polynômes, il est naturel d'appliquer cette méthode pour trouver des développements limités
de rapport de deux fonctions.

\begin{exercice}
    Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des développements limités d'ordre $n$ au voisinage
    de $0$. On notera :
    \begin{displaymath}
        f(x) = A(x) + x^n \varepsilon_1(x)
         \quad \textnormal{et} \quad g(x) = B(x) + x^n \varepsilon_2(x),
    \end{displaymath}
    où $A$ et $B$ sont deux polynômes de degré au plus $n$ correspondant aux parties régulières des
    développements limités de $f$ et de $g$. On suppose que le terme constant de $B$ est non nul. On
    sait d'après le cours d'algèbre qu'il existe deux    polynômes $Q$ et $R$ tels que
    $\mathrm{deg}(Q) \leqslant n$ et $A(x) = B(x) Q(x) + x^{n+1}R(x)$.
    En déduire que $f/g$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Utiliser le résultat de l'exercice précédent pour déterminer le développement limité de la
    fonction tangente à l'ordre $5$ au voisinage de $0$.
\end{exercice}


\section{Intégration d'un développement limité}

\begin{exercice}
    Soit $f$ une fonction dérivable $n$ fois en $0$ et soit $F$ une
    primitive de $f$. En utilisant la formule de Taylor-Young, démontrer que $F$ admet un
    développement limité à l'ordre $n+1$ en $0$. Quel lien y a-t-il entre les développements limités
    de $f$ et de $F$ ?
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Déterminer le développement limité en $0$ de :
    \begin{enumerate}
        \item $x \mapsto \arctan (x)$, à l'ordre $n$;
        \item $x \mapsto \ln \displaystyle \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, à l'ordre $n$;
        \item $x \mapsto \arccos (x)$, à l'ordre $5$;
    \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
    En sa rappelant que $\tan' = 1+\tan^2$, déduire du développement limité de $\tan$ à l'ordre $0$
    celui à l'ordre $1$, puis répéter l'opération plusieurs fois.
\end{exercice}


\section{Continuité et dérivabilité}

On a vu qu'il était possible d'intégrer le développement limité d'une fonction pour trouver le
développement limité d'une de ses primitives. On ne peut pas en général dériver un développement
limité ! Cependant, voici ce que l'on peut dire...

\begin{exercice}
    Soit $f$ une fonction admettant un développement limité à l'ordre $0$ en $0$. Démontrer que $f$
    est continue en $0$ et déterminer $f(0)$ en fonction du développement limité de $f$. Que
    peut-on dire si $f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $0$ ? Et si elle admet un
    développement limité à l'ordre $2$ en $0$ ?
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Soit $f$ la fonction définie par :
    \begin{displaymath}
        \begin{array}{ccccc}
           f & \colon & \left] -1,0 \right[ \cup \left] 0, +\infty \right[ 
               & \rightarrow &  \mathbb{R} \\
             & & x & \mapsto & \displaystyle \frac{\ln(1 + x)- x}{x^2}
        \end{array} 
    \end{displaymath}
    \begin{enumerate}
         \item Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $0$ et que ce prolongement est
            dérivable en 0.
         \item Quelle est alors la position relative de la courbe du prolongement de $f$ par rapport
            à sa tangente en $0$ ?
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\section{Développement limité au voisinage de $x_0\! \neq 0$}

On dira qu'une fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage du point $x_0$
si on peut écrire :
\[ f(x) = a_0 + a_1 (x-x_0) +a_2 (x-x_0)^2 + \ldots + a_n (x-x_0)^n + (x-x_0)^n \varepsilon (x), \]
où $\varepsilon$ est une fonction qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $x_0$. Tous les résultats
vus sur les développements limités au voisinage de $0$ sont encore vrais au voisinage d'un point
quelconque (attention, pour la composition, on demandera à ce que la fonction par laquelle on
compose admette $x_0$ pour limite au lieu de $0$).

Pour effectuer le développement limité d'une fonction au voisinage d'un point quelconque, il suffit
de « se ramener en $0$ ». Voyons sur un exemple comment faire.

\begin{exercice} 
    On veut déterminer  un développement limité de la fonction $x \mapsto \cos (x)$
    au voisinage de
    $\pi /3$. Si on pose $x= \pi /3 +h$, alors, dire que $x$ est au voisinage de $\pi /3$ revient à
    dire que $h$ est au voisinage de $0$.
    \begin{enumerate}\makefirstmargin
        \item Exprimer $\cos(x)$ en fonction de $\cos(h)$ et de $\sin(h)$.
        \item Effectuer le développement limité en $h$ de l'expression trouvée à la question
            précédente.
        \item En déduire le développement limité de $\cos$ au voisinage de $\pi/3$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Déterminer le développement limité de :
    \begin{enumerate}
        \item $x \mapsto \sin (x)$, à l'ordre $4$ en $\pi/2$ ;
        \item $x \mapsto \arctan(x)$, à l'ordre $3$ en $1$ ;
        \item $x \mapsto \ln (x)$, à l'ordre $3$ en $1$;
        \item $x \mapsto \mathrm{e}^x$, à l'ordre $4$ en $1$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
    On peut écrire une formule de Taylor au voisinage de $x_0$ quelconque pour une fonction $f$ $n$
    fois dérivable.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire la formule de Taylor en $0$ pour la fonction $g(x)=f(x_0+x)$.
        \item Déterminer $g^{(k)}(0)$ en fonction de $f^{(k)}(0)$.
        \item En déduire une formule pour $f$ en remplaçant $x$ par $x-x_0$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}



\section{Quelques exercices et applications}



\begin{exercice}
    Donner le développement limité en $0$ de :
    \begin{enumerate}
        \item $x \mapsto \ln (\cos (x))$, à l'ordre $4$;
        \item $x \mapsto \tan (x)$, à l'ordre $4$;
        \item $x \mapsto \sin(\tan(x))$, à l'ordre $4$;
        \item $x \mapsto (\ln(1+x))^2$, à l'ordre $4$;
        \item $x \mapsto \exp(\sin(x))$, à l'ordre $3$;
        \item $x \mapsto \sin^6(x)$, à l'ordre $9$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
    Étudier la position de la courbe représentative de  $x\mapsto
    \ln(1+x+x^2)$ par rapport à sa tangente en $0$ et en $1$.
\end{exercice}



\begin{exercice}
    Déterminer les développements limités en $0$ de :
    \begin{enumerate}
        \item $\cos (x) \ln (1+x)$, à l'ordre $4$ ;
        \item $\displaystyle{\frac{1}{\cos x}}$, à l'ordre $4$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
    En utilisant la formule de Taylor, déterminer les développements limités des fonctions $\ch$ et
    $\sh$ à l'ordre $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Donner le DL$_2$ en $+\infty $ de :
    \[ x\rightarrow \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\mathrm{exp}\left(\frac{x}{x-1}\right). \]
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par
    $f(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{1+x^6}}$. Calculer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n$
    dans $\mathbb{N}$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Calculer les limites suivantes :
 \[ \textnormal{1.}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}
    \quad \textnormal{2.}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-\sin x} {x}
    \quad\textnormal{3.} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}
  {x^4} .\]
\end{exercice}




\begin{exercice}
    Montrer que pour tout $n \in\mathbb{N}$,  $\displaystyle {\lim
    _{x\rightarrow +\infty }\frac{e^x}{x^n}=+\infty}$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Étudier les branches infinies des fonctions :
    \begin{enumerate}
        \item $\displaystyle f (x) = x^2 \arctan \left(\frac 1{1 + x^2}\right)$;
        \item $\displaystyle g (x) = x \sqrt{\frac{x-1}{3x + 1}}$.
    \end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
    Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par 
    \[ f(x) = \frac{x^3+2}{x^2-1}\quad \textnormal{et} 
     \quad g(x) = (x+1) =  \exp \left(\frac{1}{x-1}\right).
    \]
    Déterminer si leurs graphes respectifs ont des asymptotes puis la position de
    ces graphes par rapport à celles-ci.
\end{exercice}





\end{document}