Le sujet du final

Ne sachant pas trop quoi réviser pour le final de MTC, Gusgus préfère perdre son temps à pirater le code du coffre où son professeur a rangé le sujet. Mais, son professeur (très malin !!) a prévu une protection efficace contre les cancres ! Pour trouver le code, Gusgus doit d'abord trouver le mot de passe qui a été utilisé pour le coffre. Heureusement, un pense-bête est accroché à la porte du coffre...

  • Somme de la série \(\displaystyle \sum_{n\gt0}\dfrac{3}{4^n}\).
  • Produit des valeurs propre de la matrice : \[\begin{pmatrix} 18 & -10 & -30\\ 0 & -2 & 0\\ 10 & -5 & -17\\ \end{pmatrix}\].
  • \(\left.\left\langle \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}\right\vert \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}\right\rangle\) où \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire usuel \( \left.\langle A \right\vert B\rangle =\mathrm{Tr}({}^tA B)\)

Attention ! Le professeur de Gusgus ayant animé quelques colonies de vacances, il est bien probable qu'un effort supplémentaire soit nécessaire pour ouvrir son coffre-fort qui possède un clavier alpha-numérique.