Partant du constat que: \[\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 33 & 44 \\ 66 & 88 \end{pmatrix} \] et que \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 22 & 33 \\ 66 & 99 \end{pmatrix}, \] ne serait-il pas possible de déterminer d'autres matrices particulières pour troller les petits nouveaux ? Aujourd'hui nous allons tenter de fabriquer des matrices \(A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(A^2=2A\). Soit \(A\) une telle matrice.

• Déterminer un polynôme annulateur de \(A\)
• En déduire que si \(A\) admet pour valeurs propres \(0\) et \(2\) alors \(A\) convient.
• On donne: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] En prenant \(D\) avec les valeurs propres rangées par ordre croissant, fabriquer une nouvelle matrice du type de celles données en introduction.

Vous avez trouvé ? Alors entrez ci-dessous la somme des éléments de la matrice obtenue.