On note :

• \(h_1 = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{9n!+\ln n - 3 \mathrm{e}^n}{1+n^2+n!}\)
• \(h_2=\left|2+i\sqrt{5}\right|\)
• \(h_3\) le nombre de solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^7=1\)
• \(h_4=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{8x}-1}{x}\).

Un lutin attend sur le sol au pied d'un grand sapin. Il doit inspecter les branches du sapin, pour vérifier si elles sont bien décorées. Il commence par:

• monter de \(h_1\) branches
• puis, de sa position, monter à nouveau de \(h_2\) branches
• puis redescendre de \(h_3\) branches
• monter enfin de \(h_4\) branches.

Arrivé à cette hauteur, le lutin décide de s'accorder une petite pause. A-t-il trouvé un endroit confortable pour faire une sieste ? Pour le savoir, entrez ci-dessous la hauteur de la branche sur laquelle il s'est arrêté. On admet que le sol correspond à la branche de hauteur 0.