Exercice

On considère la fonction: \[\begin{array}{ccccc} f& \colon & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & & (x,y) & \mapsto & \begin{cases} \displaystyle \frac{\sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\ 1 & \text{sinon}. \end{cases} \end{array} \] 1. En posant \(u = \sqrt{x^2+y^2}\), déterminer le développement limité à l'ordre \(2\) au voisinage de \(0\) de la fonction \(f\).
2. En admettant l'unicité du développement limité pour les fonctions de deux variables, en déduire que \((0,0)\) est un point critique et déterminer sa nature.
3. Vérifier la cohérence de votre réponse sur le graphe de la fonction