Exercice

On considère la fonction: $$\begin{array}{ccccc}f& :& {\mathbb{R}}^2& \to & \mathbb{R}\\ & & (x,y)& \mapsto & \{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}}& \text{si }(x,y)\ne (0,0),\\ 1& \text{sinon}.\end{array}\end{array}$$ 1. En posant $u=\sqrt{x^2+y^2}$, déterminer le développement limité à l'ordre $2$ au voisinage de $0$ de la fonction $f$.
2. En admettant l'unicité du développement limité pour les fonctions de deux variables, en déduire que $(0,0)$ est un point critique et déterminer sa nature.
3. Vérifier la cohérence de votre réponse sur le graphe de la fonction